課程大綱

課程資訊

課程名稱	機率論一 Probability Theory (Ⅰ)
開課學期	112-1
授課對象	理學院數學研究所
授課教師	李志煌
課號	MATH7509
課程識別碼	221 U3410
班次
學分	3.0
全/半年	半年
必/選修	必修
上課時間	星期二6,7(13:20~15:10)星期四7(14:20~15:10)
上課地點	天數101天數101
備註	本課程中文授課,使用英文教科書。總人數上限：60人

課程簡介影片
核心能力關聯	核心能力與課程規劃關聯圖
課程大綱
為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
課程概述	在此課程中，我們會以測度論的角度來討論機率理論，上學期的機率論一為此課程的第一部份，其中涵蓋的主題有：（測度論）、機率論的基礎、隨機變數、分佈、收斂概念、收斂定理、鞅。
課程目標	掌握以測度論的語言來理解機率論的基礎。
課程要求	對高等微積分熟悉，若沒有修過測度論，強烈建議同時上實分析課程。
預期每週課後學習時數
Office Hours
指定閱讀
參考書目
評量方式 (僅供參考)

課程進度

週次	日期	單元主題
第1週	09/05	- 定義 σ 代數、生成 σ 代數、Borel σ 代數、積 σ 代數的概念。 - 定義測度並且討論其性質。 - 證明測度的 σ 可加性與測度的連續性等價。 - 定義單調類。
第1週	09/07	- 定義單調類、生成單調類。 - 敘述並證明單調類引理。 - 應用單調類引理而推得測度的唯一性。
第2週	09/12	- 定義可測函數及討論其性質。 - 定義非負簡單函數及其積分。 - 定義非負可測函數的積分。 - 敘述單調收斂定理及證明。
第2週	09/14	- 定義可積函數及 L^1 空間。 - 敘述並證明 Fatou 引理。 - 敘述並證明勒貝格控制收斂定理。
第3週	09/19	- 有參數積分對參數的規律性（連續性即可微分性）。 - 討論 Stieltjes 積分。 - 介紹 L^p 空間及三個不等式：赫爾德不等式、琴生不等式及閔可夫斯基不等式。 - 敘述並證明 L^p 空間為 Banach 空間。
第3週	09/21	- 討論 L^p 空間的稠密性。 - 定義絕對連續測度及奇異測度。 - 敘述並證明 Radon-Nikodym 定理。
第4週	09/26	- 構造積測度。 - 敘述富比尼定理。 - 敘述並證明捲積的性質。 - 定義狄拉克測度逼近的概念。 - 敘述並證明狄拉克測度逼近的性質。 - 給出變數變換的公式。
第5週	10/03	- 定義機率空間、事件及隨機變數的概念，討論範例。 - 定義影像測度及隨機變數分佈的概念。 - 定義期望值、利用期望值來刻劃隨機變數的分佈。 - 討論邊緣分佈的概念。
第5週	10/05	- 描述一般隨機變數、離散隨機變數、實數絕對連續隨機變數的方式。 - 隨機變數生成的 σ 代數、範例。 - 敘述及證明所有 σ(X) 可測的隨機變數皆為 X 的函數。
第6週	10/12	- 定義動差、變異數、共變異數、共變異數矩陣的概念。 - 變異數滿足最佳化問題的解。 - 馬可夫不等式、柴比雪夫不等式。 - 線性回歸。
第7週	10/17	- 特徵函數的定義、性質。 - 證明特徵函數可以唯一描述機率分佈。 - 特徵函數在原點附近的泰勒展開。 - 生成函數的定義、性質。 - 尾端機率。
第7週	10/19	- 獨立事件的定義、等價性質。 - 獨立 σ 代數、獨立隨機變數的定義及性質。
第8週	10/24	- 獨立隨機變數等價性質敘述及證明。 - Kolmogorov 拓延定理。 - 簡單檢查有密度的隨機變數、σ 代數是否獨立的方式（命題 3.1.17 及命題 3.1.19）。 - 無窮多個獨立 σ 代數、無窮多個獨立隨機變數的定義。
第8週	10/26	- Borel-Cantelli 定理敘述、證明及應用。
第9週	10/31	- 獨立隨機變數和的性質及計算。 - L^2 大數法則敘述及證明。 - 在 L^4 假設下的 a.s. 大數法則敘述及證明。 - 多元常態分佈的等價定義及性質。
第9週	11/02	- 多元常態分佈密度函數的計算。 - 定義 càdlàg 函數。 - 帕松過程的定義及基本性質。
第10週	11/07	期中考停課。
第10週	11/09	- 證明帕松過程的 càdlàg 性質。 - 證明帕松過程有獨立的增量並且計算帕松過程任意時間差的分佈。
第11週	11/14	- 機率收斂的定義。 - 證明機率收斂可以賦距化。 - 討論機率收斂與 a.s. 收斂及 L^p 收斂的關係。 - 全有全無律的敘述及證明。 - 證明對稱簡單隨機漫步 a.s. 會有 sup = +∞ 及 inf = -∞ 的性質。
第11週	11/16	- 證明在 L^1 假設下的強大數定理。
第12週	11/21	- 機率測度弱收斂的定義。 - 隨機變數分佈收斂的定義、範例及等價性質（Portmanteau 定理）。 - 機率收斂蘊含分佈收斂，敘述及證明。
第12週	11/23	- 測度淡收斂的定義。 - 討論何時淡收斂會與弱收斂等價。 - 敘述並證明 Lévy 連續定理。
第13週	11/28	- 經驗測度的分佈收斂。 - 一維度中央極限定理敘述及證明。 - 高維度中央極限定理敘述及證明。
第13週	11/30	- 定義 L^1 隨機變數的條件期望值。 - 討論 L^1 情況下的特徵性質。
第14週	12/05	- L^1 隨機變數條件期望值的性質，推廣期望值的性質。 - 定義非負隨機變數的條件期望值及討論此情況下的特徵性質。 - 討論條件期望值的收斂定理及不等式。 - 討論 L^2 隨機變數的條件期望值。
第14週	12/07	- 特殊情況下條件期望值的計算。 - 獨立 σ 代數與條件期望值的關聯。
第15週	12/12	期末考口試。
第15週	12/14	期末考口試。